(2014•武清区三模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,正△PF1F2
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(2014•武清区三模)已知椭圆E:
x
(1)正△PF1F2的边长为2c(c为椭圆E的半焦距),且点P在y轴上 依题意
3 2•2c• 1 3=b,∴c2=3b2,∴a=2b …(1分) ∵∠F1AF2= 2π 3, ∴
AF1•
AF2=a2cos 2π 3=-2. …(3分) ∴a=2,b=1, ∴椭圆E的方程为 x2 4+y2=1…(4分) (2)由(1)知,正△PF1F2的边长为2 3, ∴点P的坐标为(0,3) 若直线l的斜率不存在,M,N即椭圆E的上下顶点,显然当点B为(-1,0)或(1,0)时, △BMN是以角B为顶角的等腰直角三角形,此时直线l的方程为x=0 …(6分) 若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx+3, 与 x2 4+y2=1联立得(4k2+1)x2+24kx+32=0, △=64(k2-2)>0,∴k2>2 …(7分) 设M(x1,y1),N(x2,y2),B(m,0),MN中点为G(x0,y0), ∴x0= −12k 4k2+1,y0= 3 4k2+1 ∵BG⊥MN, ∴k•
3 4k2+1
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