求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/01 00:00:08
求一道线性代数求秩与其一个最高阶非零子式的题目的详解
矩阵A(矩阵的括号省略了):
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
矩阵A(矩阵的括号省略了):
1 -1 2 1 0
2 -2 4 2 0
3 0 6 -1 1
0 3 0 0 1
求矩阵A的秩,并求一个最高阶非零子式
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存在 可逆阵P 使得 PAP^(-1)=B
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余3块都为0.
构造M0 = B + C,其中 C是分块矩阵,其右下角是 (n-r)*(n-r)的单位阵E_(n-r),其余3块都为0.
构造Mi,i=1,...,n-r,如下:
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外:第n-i+1个元素为0.
显然 B=M0*M1*...*M(n-r),其中 M0 可逆,r(Mi) = n-1,i=1,...,n-r.
所以 A=P^(-1)BP
= P^(-1)M0*M1*...*M(n-r)P
= D1*D2*.*D(n-r),
其中,D1= P^(-1)M0*M1,
Di = Mi,i = 2,...,n-r-1,
D(n-r)=M(n-r)*P,
为n-r个秩为n-1的n阶矩阵的乘积
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余3块都为0.
构造M0 = B + C,其中 C是分块矩阵,其右下角是 (n-r)*(n-r)的单位阵E_(n-r),其余3块都为0.
构造Mi,i=1,...,n-r,如下:
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外:第n-i+1个元素为0.
显然 B=M0*M1*...*M(n-r),其中 M0 可逆,r(Mi) = n-1,i=1,...,n-r.
所以 A=P^(-1)BP
= P^(-1)M0*M1*...*M(n-r)P
= D1*D2*.*D(n-r),
其中,D1= P^(-1)M0*M1,
Di = Mi,i = 2,...,n-r-1,
D(n-r)=M(n-r)*P,
为n-r个秩为n-1的n阶矩阵的乘积