求解三角函数方程8sin^3 18°-4sin 18° +1=0

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/08 22:42:14

求解三角函数方程
8sin^3 18°-4sin 18° +1=0

是要求证上面这个式子是吧
8sin^3 18°-4sin 18°
=4sin18°(2sin²18°-1)
由公式cos2a=1- 2sin²a可以知道,
2sin²18°-1= -cos36°
即
8sin^3 18°-4sin 18°
= -4sin18°×cos36°
而
4sin18°×cos36°
=4sin18°×cos36°×cos18° / cos18°
再由二倍角公式可以知道,
sin2a=2sina×cosa
所以
4sin18°×cos36°×cos18°
=4sin18°×cos18°×cos36°
=2sin36°×cos36°
=sin72°
于是
8sin^3 18°-4sin 18°
= -4sin18°×cos36°
= -4sin18°×cos36°×cos18° / cos18°
= -sin72° / cos18°
显然sin(90°-a)=cosa,即sin72°=cos18°,
所以
8sin^3 18°-4sin 18°
= -sin72° / cos18°
= -1
即
8sin^3 18°-4sin 18°+1=0,
等式得到证明
再问：谢谢你。是解方程啊。。。解！
再答：你这个式子连未知数都没有，解什么方程的呢？
再问：就是解出来sin 18°的值啊，帮帮忙
再答：由8sin^3 18°-4sin 18° +1=0 得到(2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1)=0 显然sin18°不等于0.5，即2sin18°-1不等于0，于是4sin²18°+2sin18°-1=0 设sin18°= x，即4x²+2x-1=0，解得x=(√5-1)/4或(-√5-1)/4 而显然sin18°大于0，故sin18°=(√5-1)/4
再问：不对啊。。 (2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1)=0 展开得到：8sin^3 18°-2sin 18° +1=0 与原方程8sin^3 18°-4sin 18° +1=0不一样啊
再答：那是你展开错了呢……再仔细做一次试试 (2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1) =(8sin^3 18°+4sin²18°-2sin18°) - (4sin²18°+2sin18°-1) =8sin^3 18°-4sin 18° +1

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