已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 20:03:01
已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.
![已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.](/uploads/image/z/5108206-22-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E2%88%88R%2C%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D1%2F2x%5E2-alnx%2C%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3Da%E6%81%B0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%A0%B9%2C%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
a∈R,函数f(x)=(x^2)/2-alnx,
方程f(x)=a恰有两个不相等的实根即(x^2)/2-alnx=a
也就是(x^2)/2-a-alnx=0恰有两个不相等的实根,
考核函数g(x)=(x^2)/2-a-alnx,函数定义域为(0,+∞),
求导得:
g′(x)=x-(a/x),
当a≤0时,g′(x)=x-(a/x)>0,函数单调递增,对应方程不可能有两个不相等的实根;
因此a>0,此时令g′(x)=x-(a/x)=0解得:x=SQR(a)或x=-SQR(a)(不在定义域内,舍)
当x∈(SQR(a),+∞)时,g′(x)>0,函数单调递增;
当x∈(0,SQR(a))时,g′(x)1/e
所以
已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,a的取值范围为(1/e,+∞).
解起来不难,打起来太费事,
方程f(x)=a恰有两个不相等的实根即(x^2)/2-alnx=a
也就是(x^2)/2-a-alnx=0恰有两个不相等的实根,
考核函数g(x)=(x^2)/2-a-alnx,函数定义域为(0,+∞),
求导得:
g′(x)=x-(a/x),
当a≤0时,g′(x)=x-(a/x)>0,函数单调递增,对应方程不可能有两个不相等的实根;
因此a>0,此时令g′(x)=x-(a/x)=0解得:x=SQR(a)或x=-SQR(a)(不在定义域内,舍)
当x∈(SQR(a),+∞)时,g′(x)>0,函数单调递增;
当x∈(0,SQR(a))时,g′(x)1/e
所以
已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,a的取值范围为(1/e,+∞).
解起来不难,打起来太费事,
已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.
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