已知a b c都是正数,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 08:50:21

已知a b c都是正数,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
可能用基本不等式,也可能是排序不等式柯西不等式,

设b+2c=x,c+2a=y,a+2b=z
则a=1/9(z-2x+4y)
b=1/9(x-2y+4z)
c=1/9(y-2z+4x)
原式即证：
1/9（(z-2x+4y)/x+(x-2y+4z)/y+(y-2z+4x)/z）>=1
即证：
1/9（z/x+4x/z+x/y+4y/x+y/z+4z/y-6）>=1 ---1
因为
4x/z+4y/x+4z/y>=12
当且仅当x/z=y/x=z/y,即x=y=z时等号取到
因为
z/x+x/y+y/z>=3
当且仅当z/x=x/y=y/z,即x=y=z时等号取到
所以1式左边>=1/9(12+3-6)=1=右边
即原式a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1得证
如有此类问题,可直接询问zhaowei0524

已知a b c都是正数,证明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1 a、b、c都是正数,证明a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/（a+b）≥（a+b+c）/2 已知a,b,c是正数,a+b+c=1,证明（a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3 已知a,b,c是正数,求证:a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b) 已知a,b,c是正数,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b). 已知a.b.c是三个正数,证明：a^2*b^2*c^2>=a^b+c*b^a+c*c^a+b 已知a.b.c为正数,证明：a^2*b^2*c^2>=a^(b+c)*b^(a+c)*c^(a+b) 若a、b、c都是正数,请证明1/2a + 1/2b + 1/2c >=1/a+b + 1/b+c + 1/a+c 已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3 已知a,b,c是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b) 已知a,b,c是正数,求证 a^2(b)×b^(2b)×c^(2c)大于等于a^(a+b)×b^(a+c)×c^(a+b