百度作业网与拉格朗日中值定理有关的一道证明题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 00:30:01
与拉格朗日中值定理有关的一道证明题
设f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明：在(a,b)内至少存在一点ξ,使
(bf(b)-af(a))/(b-a)=f(ξ)+ ξf’(ξ)
分析,本题关键是构造辅助函数,对于关系式中显含a,b及f(a),f(b)的情形更多地直接采用拉格朗日中值定理,即含介值的项全部右移,左端的分子、分母把a,b分离,然后直接观察即可得到所需辅助函数.本题即为F（x）=xf（x）.
F（x）=xf（x）是怎么看出来的!我看了半天也没看出什么规律来,原式到底是怎么化简的?
设f（x）在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明：在(a,b)内至少存在一点ξ,使
(bf(b)-af(a))/(b-a)=f(ξ)+ ξf’(ξ)
分析,本题关键是构造辅助函数,对于关系式中显含a,b及f(a),f(b)的情形更多地直接采用拉格朗日中值定理,即含介值的项全部右移,左端的分子、分母把a,b分离,然后直接观察即可得到所需辅助函数.本题即为F（x）=xf（x）.
F（x）=xf（x）是怎么看出来的!我看了半天也没看出什么规律来,原式到底是怎么化简的?
看到f(ξ)+ ξf’(ξ)
就应该想到这是xf(x)的导数形式啊
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
所以,构造F（x）=xf（x）
F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)
验证左式,符合拉格朗日中值定理：[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
就应该想到这是xf(x)的导数形式啊
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
所以,构造F（x）=xf（x）
F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)
验证左式,符合拉格朗日中值定理：[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)