百度作业网为什么无理数比有理数多
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/01 06:47:10
为什么无理数比有理数多
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简单说就是任意两个有理数之间存在着无限多个无理数.
全体实数可以覆盖整个数轴,而全体有理数不能覆盖整个数轴.任取两个相邻的有理数,则它们之间必存在无限多个无理数
首先说明什么是“多”.有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系.而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的（即“一样多”）.
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n）,因而它们是对等的.
因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列）,因此整数对儿和自然数也对等.
同样的,由于无理数有1.1415926……,2.1415926……,3.1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的.因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少.
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等.
我们用反证法.反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾.此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多.
全体实数可以覆盖整个数轴,而全体有理数不能覆盖整个数轴.任取两个相邻的有理数,则它们之间必存在无限多个无理数
首先说明什么是“多”.有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系.而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的（即“一样多”）.
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n）,因而它们是对等的.
因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列）,因此整数对儿和自然数也对等.
同样的,由于无理数有1.1415926……,2.1415926……,3.1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的.因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少.
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等.
我们用反证法.反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾.此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多.