椭圆与曲线方程
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/02 19:17:26
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椭圆与曲线方程
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解题思路: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题
解题过程:
(2014•重庆)如图,设椭圆
+
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,
=2
,△DF1F2的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
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考点:
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专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|=
=
,|DF2|=
,从而可得2a=2
,于是可求得椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣
或x1=0,分类讨论即可求得圆的半径.
解答:
解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,
由
=2
,得|DF1|=
=
c,
从而
=
|DF1||F1F2|=
c2=
,故c=1.
从而|DF1|=
,由DF1⊥F1F2,得
=
+
=
,
因此|DF2|=
,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2
,故a=
,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求椭圆的标准方程为
+y2=1;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,
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y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以
=(x1+1,y1),
=(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣
+
=0,
由椭圆方程得1﹣
=
,即3
+4x1=0,解得x1=﹣
或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;
当x1=﹣
时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=
|P1P2|=
|x1|=
.
点评:
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题.
解题过程:
(2014•重庆)如图,设椭圆
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(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
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专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|=
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(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆
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由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣
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解答:
解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,
由
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从而
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从而|DF1|=
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因此|DF2|=
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所以2a=|DF1|+|DF2|=2
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因此,所求椭圆的标准方程为
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(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆
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y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以
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由椭圆方程得1﹣
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当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;
当x1=﹣
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由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=
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点评:
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题.