已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 12:52:59
已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a,b值,并求S的最大值.
![已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a](/uploads/image/z/6040570-58-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%3Dax2%2Bbx%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E5%86%85%E4%B8%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%2By%3D4%E7%9B%B8%E5%88%87%EF%BC%8E%E6%AD%A4%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E6%89%80%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E8%AE%B0%E4%B8%BAS%EF%BC%8E%E6%B1%82%E4%BD%BFS%E8%BE%BE%E5%88%B0%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E7%9A%84a)
依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=−
b
a,
所以S=
∫−
b
a0(ax2+bx)dx=(
1
3ax3+
1
2bx2)
|−
b
a0
=
1
3a•(−
b
a)3+
1
2b•(−
b
a)2
=
1
6a2•b3(1)…(4分)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,
即它们有唯一的公共点
由方程组
x+y=4
y=ax2+bx,
得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式△必须为0,
即△=(b+1)2+16a=0,
于是a=−
1
16(b+1)2,…(8分)
代入(1)式得:S(b)=
128b3
3(b+1)4(b>0),
S′(b)=
128b2(3−b)
3(b+1)5.
令S′(b)=0,在b>0时,得b=3;
当0<b<3时,S′(b)>0;
当b>3时,S′(b)<0.
故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,
即a=-1,b=3时,S取得最大值,且Smax=
9
2.…(12分)
b
a,
所以S=
∫−
b
a0(ax2+bx)dx=(
1
3ax3+
1
2bx2)
|−
b
a0
=
1
3a•(−
b
a)3+
1
2b•(−
b
a)2
=
1
6a2•b3(1)…(4分)
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,
即它们有唯一的公共点
由方程组
x+y=4
y=ax2+bx,
得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式△必须为0,
即△=(b+1)2+16a=0,
于是a=−
1
16(b+1)2,…(8分)
代入(1)式得:S(b)=
128b3
3(b+1)4(b>0),
S′(b)=
128b2(3−b)
3(b+1)5.
令S′(b)=0,在b>0时,得b=3;
当0<b<3时,S′(b)>0;
当b>3时,S′(b)<0.
故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,
即a=-1,b=3时,S取得最大值,且Smax=
9
2.…(12分)
已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a
用导数求面积最小值抛物线y=ax^2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S, 求
抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切,此抛物线与x轴所围成的图形的面积
已知抛物线y=2x平方和直线y=4x (1)求此抛物线与直线所围成图形的面积
在第一象限内由原点作抛物线fx=x2-2x+4的切线,设切点为Q,求切线OQ与抛物线及Y轴所围图形的面积A.
已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴为直线x=-1,其最高点在直线y=2x+4上.求抛物线与直线的交点坐标.
求抛物线Y=X平方与直线Y=x所围图形的面积
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点M在第一象限,抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),与y
求抛物线y2=x与直线x-y-2=0所围成的图形的面积.
如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,D两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点B在第一象限,若点A的坐标为(1,0)
求抛物线y = x(x-2) 与直线y=x所围成的平面图形的面积
抛物线y=x的平方与直线y=2x在第一象限内有一个交点A