定积分证明题设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt(从0到x),若f(x)为奇函数,(
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 16:31:02
定积分证明题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt(从0到x),若f(x)为奇函数,
(1)证明F(x)为奇函数
(2)讨论F(x)满足什么条件,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt(从0到x),若f(x)为奇函数,
(1)证明F(x)为奇函数
(2)讨论F(x)满足什么条件,F(x)在(-∞,+∞)上单调递增
(1)F(x)=∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt
F(-x)=∫(从0到-x) (-2x-4t)f(t)dt 令t=-y,dt=-dy,t从0到-x,y从0到x
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(-y)(-dy) f(x)为奇函数,故f(-y)=-f(y)
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(y)dy
=- ∫(从0到x) (2x-4y)f(y)dy
=-∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt=-F(x)
故F(x)为奇函数 .
(2)由于F(x)为奇函数,要想在(-∞,+∞)上单调递增,只需在[0,+∞)单调递增.
当x≥0时,只需
F'(X)=d[∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt]/dx
=d[∫(从0到x) 2xf(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=d[2x∫(从0到x) f(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=2∫(从0到x) f(t)dt+2x*f(x)-4xf(x)
=2∫(从0到x) f(t)dt-2x*f(x)
=2x[f(ξ)-f(x)]≥0恒成立,对0
F(-x)=∫(从0到-x) (-2x-4t)f(t)dt 令t=-y,dt=-dy,t从0到-x,y从0到x
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(-y)(-dy) f(x)为奇函数,故f(-y)=-f(y)
=∫(从0到x) (-2x+4y)f(y)dy
=- ∫(从0到x) (2x-4y)f(y)dy
=-∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt=-F(x)
故F(x)为奇函数 .
(2)由于F(x)为奇函数,要想在(-∞,+∞)上单调递增,只需在[0,+∞)单调递增.
当x≥0时,只需
F'(X)=d[∫(从0到x) (2x-4t)f(t)dt]/dx
=d[∫(从0到x) 2xf(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=d[2x∫(从0到x) f(t)dt-∫(从0到x) 4tf(t)dt]/dx
=2∫(从0到x) f(t)dt+2x*f(x)-4xf(x)
=2∫(从0到x) f(t)dt-2x*f(x)
=2x[f(ξ)-f(x)]≥0恒成立,对0
定积分证明题设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(2x-4t)f(t)dt(从0到x),若f(x)为奇函数,(
设f(x)在[-a,a]上为连续奇函数,则F(x)=∫(0,x)f(t)dt ( )
设f(x)是(-∞,+∞)上的连续偶函数,证明:F(x)=∫(0→x)f(t)dt是奇函数
一道高数证明题,设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫(0,x)(x-2t)f(t)dt,试证:若f(x)单
证明:若f(x)是奇函数,则f(t)dt在0到x上的定积分F(x)是偶函数
设f(x)在0到正无穷上连续,若积分上限f(x),下限0,t^2dt=x^2(x+1),求f(2)
若f(x)在(-∞,+∞)内连续,证明:1,若f(x)为奇函数,则∫(0,x)f(t)dt为偶函数;2,若f(x)为偶函
f(x)在[a,b]上连续可导,f'(x)≤0 若F(x)=1/x-a,定积分∫f(t)dt[a,x] 证明在(a,b)
f(x)=x+2∫f(t)dt,f(x)连续,求f(x) 那个积分是定积分区间是(0,1)
用分部积分法证明:若F(X)连续,则【定积分[定积分F(X)dx,积分区间0到t]积分区间0到X】dt=[定积分F(t)
f(x)为连续偶函数 求证f(x)=定积分(x-2t)f(x)dt也为偶函数,上限为x下线为0
证明:设f(x)在(-∞,+∞)连续,则函数F(x)=∫(0,1)f(x+t)dt可导,并求F'(x)