已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 04:02:10
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=
(1)若a>b>c且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=
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![已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.](/uploads/image/z/6468374-38-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dax2%2Bbx%2Bc%EF%BC%8E)
证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
又∵△=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.
所以,函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-
1
2[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-
1
2[f(x1)+f(x2)]=
f(x1)−f(x2)
2,
g(x2)=f(x2)-
1
2[f(x1)+f(x2)]=-
f(x1)−f(x2)
2,
∴g(x1)•g(x2)=
f(x1)−f(x2)
2•
f(x2)−f(x1)
2=-
1
4[f(x1)-f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
∴方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根.
再由 g(x1)•g(x2)<0可得二次函数g(x)的函数值可正可负,
故函数g(x)=f(x)-
1
2[f(x1)+f(x2)]的图象与x轴一定有两个交点,
故方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根.
综上可得,方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,且必有一实根属于(x1,x2).
又∵△=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.
所以,函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-
1
2[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-
1
2[f(x1)+f(x2)]=
f(x1)−f(x2)
2,
g(x2)=f(x2)-
1
2[f(x1)+f(x2)]=-
f(x1)−f(x2)
2,
∴g(x1)•g(x2)=
f(x1)−f(x2)
2•
f(x2)−f(x1)
2=-
1
4[f(x1)-f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)<0.
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
∴方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根.
再由 g(x1)•g(x2)<0可得二次函数g(x)的函数值可正可负,
故函数g(x)=f(x)-
1
2[f(x1)+f(x2)]的图象与x轴一定有两个交点,
故方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根.
综上可得,方程f(x)=
1
2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,且必有一实根属于(x1,x2).
(已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
已知二次函数f(x)=ax2-bx+1.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[-1,1]时,|f(x)|≤1.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,的值域为[0,正无穷)为什么△=0?
已知函数f(x)=ax2-bx+1.
那么,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中abc满足:a>b
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R.且满足a>b>c,f(1)=0.