一道数学证明题,集合的.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 22:51:46
一道数学证明题,集合的.
A与(B和C的并集)的交集=(A和B的交集)与(A和C的交集)的并集,怎么证?
A与(B和C的并集)的交集=(A和B的交集)与(A和C的交集)的并集,怎么证?
![一道数学证明题,集合的.](/uploads/image/z/6491723-59-3.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%2C%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84.)
文氏图可以用来帮助分析题意,理清思路来;但将之作为证明过程.有缺乏严谨之嫌.下面我给出代数证明过程.
证明:A∩B<A
A∩B<B
∴(A∩B)^C>A^C
(A∩B)^C>B^C
∴(A∩B)^C>A^C∪B^C……※
同理可证,(A∪B)^C<A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B,从而有
(A^C∪B^C)^C<(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补,得
A^C∪B^C>(A∩B)^C
即∴(A∩B)^C<A^C∪B^C
结合※式可得,:(A∩B)^C= A^C∪B^C
证明:A∩B<A
A∩B<B
∴(A∩B)^C>A^C
(A∩B)^C>B^C
∴(A∩B)^C>A^C∪B^C……※
同理可证,(A∪B)^C<A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B,从而有
(A^C∪B^C)^C<(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补,得
A^C∪B^C>(A∩B)^C
即∴(A∩B)^C<A^C∪B^C
结合※式可得,:(A∩B)^C= A^C∪B^C