三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的一半,求证明.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 06:32:56

如右图所示,△ABC的BC边垂足为D,BC边中点为L.证法为以垂心H为位似中心,1/2为位似比作位似变换.
连结HL并延长至L',使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'.
显然,∠BHC=∠FHE=180°-∠A,所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,D',C四点共圆.
又因为BC和HL'互相平分于L,所以四边形BL'CH为平行四边形.故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,L',C四点共圆.
综上,A,B,C,D',L'五点共圆.显然,对于另外两边AB,AC边上的F,N,E,M也有同样的结论成立,故A,B,C,D',L',F',N',E',M'九点共圆.此圆即△ABC的外接圆⊙O.
接下来做位似变换,做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换.那么,L'变到了L（因为HL'=2HL）,D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点）,B变到了Q,C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）.其它各点也类似变换.O点变成了OH中点V.
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明）,因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点,且⊙V的半径是⊙O的一半.

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