百度作业网已知三棱锥V-ABC中,VA垂直于平面ABC,三角形ABC是锐角三角形,H是A在面VBC上的射影,求证：
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/19 08:26:33
已知三棱锥V-ABC中,VA垂直于平面ABC,三角形ABC是锐角三角形,H是A在面VBC上的射影,求证：
H不可能是三角形VBC上的射影
H不可能是三角形VBC上的射影
求证：H不可能是△VBC的垂心．
分析：本题因不易直接证明,故采用反证法．先假设H是△VBC的垂心,连接BH,并延长交VC于D点,然后再根据已知中四面体V-ABC中,VA⊥平面ABC,H是点A在面VBC上的射影,得到△ABC是Rt△,然后根据结论与已知中△ABC是锐角三角形相矛盾,得到假设不成立．
证明：假设H是△VBC的垂心,连接BH,并延长交VC于D点,则BH⊥VC
∵AH⊥平面VBC,
∴BH是AB在平面VBC内的射影
∴VC⊥AB（三垂线定理）
又∵VA⊥底面ABC,AC是VC在面内的射影
∴AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）
∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立．
故H不可能是△VBC的垂心．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质,三角形五心及反证法,当一个问题不易直接证明时,常使用反证法．
分析：本题因不易直接证明,故采用反证法．先假设H是△VBC的垂心,连接BH,并延长交VC于D点,然后再根据已知中四面体V-ABC中,VA⊥平面ABC,H是点A在面VBC上的射影,得到△ABC是Rt△,然后根据结论与已知中△ABC是锐角三角形相矛盾,得到假设不成立．
证明：假设H是△VBC的垂心,连接BH,并延长交VC于D点,则BH⊥VC
∵AH⊥平面VBC,
∴BH是AB在平面VBC内的射影
∴VC⊥AB（三垂线定理）
又∵VA⊥底面ABC,AC是VC在面内的射影
∴AB⊥AC（三垂线定理的逆定理）
∴△ABC是Rt△与已知△ABC是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立．
故H不可能是△VBC的垂心．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质,三角形五心及反证法,当一个问题不易直接证明时,常使用反证法．
已知三棱锥V-ABC中,VA垂直于平面ABC,三角形ABC是锐角三角形,H是A在面VBC上的射影,求证：
已知;在三棱锥V–ABC中,VA⊥VB,VA⊥VC,求证:VA⊥平面VBC
已知：四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影，求证：H不可能是△SBC的
三棱锥D-ABC的底面ABC是锐角三角形,且DA垂直平面ABC,H是A在平面BCD内的射影,求证：H不可能是△BCD的垂
在三棱锥pabc中,点p在平面abc上的射影o是三角形abc的垂心,求证pa垂直bc
若三棱锥S-ABC顶点S在底面上的射影H在ΔABC的内部,且是在ΔABC的垂心,求证点A在平面SBC上的射影是ΔABC的
输入您的三棱锥V-ABC中,VA⊥BC,VB⊥AC,则点V在平面ABC内的射影O是三角形ABC的什么心问题
已知三棱锥顶点P在底面的射影O是三角形ABC的垂心,且PA垂直PB,求证PA垂直平面PBC
已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,H是点A在平面SBC上的射影,求证.H不可能是△SBC的垂心
三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,AB⊥BC,VA⊥VC,求证平面VAC⊥平面VBC
在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证：VB垂直于AC
在三棱锥p-ABC中,顶点p在平面ABC内的射影是三角形ABC的外心．求证：PA=PB=PC