百度作业网（2013•兰州一模）选修4-1：《几何证明选讲》
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/08/07 07:06:35
（2013•兰州一模）选修4-1：《几何证明选讲》已知：如图，eO为△ABC的外接圆，直线l为eO的切线，切点为B，直线AD∥l，交BC于D、交eO于E，F为AC上一点，且∠EDC=∠FDC．求证：
（Ⅰ）AB2=BD．BC；
（Ⅱ）点A、B、D、F共圆．
证明：（1）∵直线l为圆O的切线，∴∠1=∠ACB．
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴
AB
DB＝
BC
AB．
∴AB2=BD•BC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠EDC=∠FDC+∠FDB=180°．
∴点A、B、D、F共圆．…（10分）
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴
AB
DB＝
BC
AB．
∴AB2=BD•BC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠EDC=∠FDC+∠FDB=180°．
∴点A、B、D、F共圆．…（10分）