已知点P是直线y=x-2上的动点,过P做抛物线C:x^2=2y的两条切线,且切点为A、B,则△PAB的面积的最小值为__

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/10 19:01:08

已知点P是直线y=x-2上的动点,过P做抛物线C:x^2=2y的两条切线,且切点为A、B,则△PAB的面积的最小值为____

设P(x0,y0),则x0-y0-2=0.设直线PA.PB的斜率分别为k1.k2,方程分别为y=k1x+b1.y=k2x+b2.
联立y=kx+b和x²=2y,得x²-2kx-2b=0,由直线PA.PB为抛物线的切线,得Δ=(2k)²+8b=0,即b=-k²/2.代入原方程,得x=k.故直线PA.PB分别为y=k1x-k1²/2和y=k2x-k2²/2,且A(k1,k1²/2),B(k2,k2²/2).
又直线PA.PB过P点,故k1,k2满足方程y0=x0-2=kx0-k²/2,整理得k²-2x0k+2x0-4=0.
由韦达定理,得k1+k2=2x0,k1k2=2x0-4.由A(k1,k1²/2),B(k2,k2²/2)可求出直线AB的方程为
y=[(k1+k2)/2]x-(k1k2)/2.故点P到直线AB的距离为d=|x0²-y0-x0+2|/√(1+x0²)=|x0²-2x0+4|/√(1+x0²).
又AB的长度为|AB|=√[(k1-k2)²+(k1²/2-k2²/2)²]=2√(x0²-2x0+4)(1+x0²).从而ΔPAB的面积
S=|AB||d|/2=x0²-2x0+4=(x0-1)²+3≥3,当且仅当x0=1时取等号.故△PAB的面积的最小值为3.
再问：可是答案里没有3 A. 2√2 B. 3√3 C. 2√3 D. 3√2 就在这四个里面选一个。谢谢(*^__^*)
再答：抱歉，最后一行改为： S=|AB||d|/2=(x0²-2x0+4)的3/2次方=[(x0-1)²+3]的3/2次方≥3√3,当且仅当x0=1时取等号.故△PAB的面积的最小值为3√3.选B.

已知点P是直线y=x-2上的动点,过P做抛物线C:x^2=2y的两条切线,且切点为A、B,则△PAB的面积的最小值为__ 设p为抛物线y^2=2px上的动点,过点p作圆C (x-2p)^2+y^2=p^2的两条切线,切点分别为A和B,求四边形 y=x2的焦点为F,动点p在直线 x-y-2=0上运动,过点p作抛物线的两条切线PA,PB,且与抛物线分别相切于A,B两已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,点P为抛物线下方的一点,过点P作抛物线两条切线PA、PB,切点为A、B 设抛物线C:Y=X?的焦点为F,动点P在直线L:X-Y-2=0上运动,过P作抛物线c的两条切线PA,PB,且与抛物线C分设抛物线C：y=x^2的焦点为F,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线分已知抛物线Cx^2=4y,直线l:x-y-2=0设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10 已知抛物线方程x^2=4y,过点P（t,-4）作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B. 已知圆o：X^2+Y^2=1,点p是椭圆c：x^2/4+Y^2=1上一点,过点p作圆o的两条切线PA,PB,A,B为切点已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆想x^2+y^2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是设P是直线l：2x+y+9=0上的任一点，过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则直线AB恒过