已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P(2,0),被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 06:07:38
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 直线L1过点P(2,0),被圆C截得的弦长为4√2,求直线L1的方程
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改写⊙C的方程,得:(x-1)^2+(y+2)^2=9.
∴⊙C的半径为3、圆心C的坐标为(1,-2).
∵L1被⊙C截得的弦长为4√2,而⊙C的半径为3,∴L1不过⊙C的圆心.
(1)若L1不存在斜率,则:
令(x-1)^2+(y+2)^2=9中的x=2,得:1+(y+2)^2=9,∴(y+2)^2=8,
∴y+2=2√2,或y+2=-2√2,∴y=-2+2√2,或y=-2-2√2.
∴直线x=2与⊙C的交点坐标分别是A(2,-2-2√2)、B(2,-2+2√2).
显然,|AB|=(-2+2√2)-(-2-2√2)=4√2.
∴L1的一条方程是:x=2.
(2)若L1存在斜率,则:
令L1的斜率为k,则L1的方程是:y=k(x-2),即kx-y-2k=0.
很明显,点C到x=2的距离=1,∴点C到kx-y-2k=0的距离也是1,
∴|k+2-2k|/√(k^2+1)=1,∴|2-k|=√(k^2+1),∴(2-k)^2=k^2+1,
∴4-4k+k^2=k^2+1,∴4k=3,∴k=3/4.
∴满足条件的L1的另一条方程是:y=(3/4)(x-2),即:3x-4y-6=0.
综合(1)、(2)可知,满足条件的L1的方程有两条,分别是:①x=2;②3x-4y-6=0.
∴⊙C的半径为3、圆心C的坐标为(1,-2).
∵L1被⊙C截得的弦长为4√2,而⊙C的半径为3,∴L1不过⊙C的圆心.
(1)若L1不存在斜率,则:
令(x-1)^2+(y+2)^2=9中的x=2,得:1+(y+2)^2=9,∴(y+2)^2=8,
∴y+2=2√2,或y+2=-2√2,∴y=-2+2√2,或y=-2-2√2.
∴直线x=2与⊙C的交点坐标分别是A(2,-2-2√2)、B(2,-2+2√2).
显然,|AB|=(-2+2√2)-(-2-2√2)=4√2.
∴L1的一条方程是:x=2.
(2)若L1存在斜率,则:
令L1的斜率为k,则L1的方程是:y=k(x-2),即kx-y-2k=0.
很明显,点C到x=2的距离=1,∴点C到kx-y-2k=0的距离也是1,
∴|k+2-2k|/√(k^2+1)=1,∴|2-k|=√(k^2+1),∴(2-k)^2=k^2+1,
∴4-4k+k^2=k^2+1,∴4k=3,∴k=3/4.
∴满足条件的L1的另一条方程是:y=(3/4)(x-2),即:3x-4y-6=0.
综合(1)、(2)可知,满足条件的L1的方程有两条,分别是:①x=2;②3x-4y-6=0.
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