(12分)如图7-4,已知△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 09:31:50
(12分)如图7-4,已知△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD,使点A′与点B之间的距离A′B= ![]() ![]() (1)求证:BA′⊥平面A′CD; (2)求二面角A′-CD-B的大小; (3)求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。 |
![(12分)如图7-4,已知△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD](/uploads/image/z/7605589-13-9.jpg?t=%2812%E5%88%86%29%E5%A6%82%E5%9B%BE7-4%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%EF%BC%8C+%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%EF%BC%8CCD%E2%8A%A5AB%EF%BC%8C%E4%B8%94AD%3D1%EF%BC%8CBD%3D2%EF%BC%8C%E2%96%B3ACD%E7%BB%95CD%E6%97%8B%E8%BD%AC%E8%87%B3A%E2%80%B2CD)
解 (1)∵CD⊥AB,
∴CD⊥A′D,CD⊥DB,
∴CD⊥平面A′BD,
∴CD⊥BA′。
又在△A′DB中,A′D=1,DB=2,A′B=
,
∴∠BA′D=90°,即BA′⊥A′D,
∴BA′⊥平面A′CD。
(2)∵CD⊥DB,CD⊥A′D,
∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角。
又Rt△A′BD中,A′D=1,BD=2,
∴∠A′DB=60°,
即 二面角A′—CD—B为60°。
(3)过A′作A′E∥BD,在平面A′BD中作DE⊥A′E于E,连CE,则∠CA′E为A′C与BD所成角。
∵CD⊥平面A′BD,DE⊥A′E,∴A′E⊥CE。
∵EA′∥AB,∠A′DB=60°,∴∠DA′E=60°,
又A′D=1,∠DEA′=90°,
∴A′E=
又∵在Rt△ACB中,AC=
=
∴A′C=AC=
∴Rt△CEA′中,cos∠CA′E=
=
=
,
即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为
。
略
∴CD⊥A′D,CD⊥DB,
∴CD⊥平面A′BD,
∴CD⊥BA′。
又在△A′DB中,A′D=1,DB=2,A′B=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/9b/49b82ba7e5a074cab302b6e407ed1842.jpg)
∴∠BA′D=90°,即BA′⊥A′D,
∴BA′⊥平面A′CD。
(2)∵CD⊥DB,CD⊥A′D,
∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角。
又Rt△A′BD中,A′D=1,BD=2,
∴∠A′DB=60°,
即 二面角A′—CD—B为60°。
(3)过A′作A′E∥BD,在平面A′BD中作DE⊥A′E于E,连CE,则∠CA′E为A′C与BD所成角。
∵CD⊥平面A′BD,DE⊥A′E,∴A′E⊥CE。
∵EA′∥AB,∠A′DB=60°,∴∠DA′E=60°,
又A′D=1,∠DEA′=90°,
∴A′E=
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/e9/fe92f216f2e65f8823a1d5a48f558266.jpg)
又∵在Rt△ACB中,AC=
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/75/d7597f8ef76a565f9d72ecc28bb096e1.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/9b/49b82ba7e5a074cab302b6e407ed1842.jpg)
∴A′C=AC=
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/9b/49b82ba7e5a074cab302b6e407ed1842.jpg)
∴Rt△CEA′中,cos∠CA′E=
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/4e/24e99a50f14943d7d01308f4835975b0.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/99/59925079233c5b5f0724cf6b62e42f11.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/e8/3e898702ad387acb22ff0845ceac4c80.jpg)
即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/e8/3e898702ad387acb22ff0845ceac4c80.jpg)
略
(12分)如图7-4,已知△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD
如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD,使点A'与点B之
如图 在rt △abc中 ∠acb=90°,cd垂直ab于d,已知ad=4,bd=1求cd的长
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD=4,求AD的长
已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°.CD⊥AB于D,AD=8.BD=4.求△ABC的面积
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,求证:AD²+BD²+2CD²
如图,在△ABC中,已知CD垂直于D,角BCD=2角ACD,BD=3AD.求证角ACB=90度
如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,且AD:DB=9:4,求sinA的值
如图△ABC中,角ACB=90°,D为AB上一点,且AD=BD,点A,C在圆O上,且AB是圆O的切线,连接CD求证CD是
如图:△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.试推导BD与AD的关系.
已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD:BD=2:3且CD=6.求AB和AC的长
已知:如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证:CD⊥AB