如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2-7

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/01 06:52:26

如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB）,动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标．
（3）当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由．

（1）解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4,
∵OA＜OB,∴OA=3,OB=4．
∴A（0,3）,B（4,0）．

（2）在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5-2t．
△APQ与△AOB相似,可能有两种情况：
（I）△APQ∽△AOB,如图（2）a所示．
则有AP AO =AQ AB ,即t 3 =5-2t 5 ,解得t=15 11 ．
此时OP=OA-AP=18 11 ,PQ=AP•tanA=20 11 ,∴Q（20 11 ,18 11 ）；
（II）△APQ∽△ABO,如图（2）b所示．
则有AP AB =AQ AO ,即t 5 =5-2t 3 ,解得t=25 13 ．
此时AQ=15 13 ,AH=AQ•cosA=9 13 ,HQ=AQ•sinA=12 13 ,OH=OA-AH=30 13 ,∴Q（12 13 ,30 13 ）．
综上所述,当t=15 11 秒或t=25 13 秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为（20 11 ,18 11 ）或（12 13 ,30 13 ）．