若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 17:12:15
若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.
![若关于x的方程4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解,求取值范围.老师说有两种方法.](/uploads/image/z/8112019-67-9.jpg?t=%E8%8B%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B4cosx-cos%26%23178%3Bx%2Bm-3%3D0%E6%81%92%E6%9C%89%E5%AE%9E%E6%95%B0%E8%A7%A3%2C%E6%B1%82%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.%E8%80%81%E5%B8%88%E8%AF%B4%E6%9C%89%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E6%96%B9%E6%B3%95.)
/>4cosx-cos²x+m-3=0
-cos²x+4cosx-4+m+1=0
-(cosx-2)²+m+1=0
m+1=(2-cosx)²
∵ -1≤cosx≤1
∴1≤2-cosx≤3
∴1≤m+1=(2-cosx)²≤9
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]
解法2:
4cosx-cos²x+m-3=-cos²x+4cosx+m-3
令f(t)=-t²+4t+m-3 其中 t=cosx (-1≤t≤1)
∵4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解
∴f(t)=-t²+4t+m-3=0在区间t∈[-1,1]内成立,即f(t)的图像与t轴的一个交点在t∈[-1,1]内
从而
f(-1)*f(1)≤0
即 (-1-4+m-3)(-1+4+m-3)≤0
化简,得
(m-8)m≤0
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]
-cos²x+4cosx-4+m+1=0
-(cosx-2)²+m+1=0
m+1=(2-cosx)²
∵ -1≤cosx≤1
∴1≤2-cosx≤3
∴1≤m+1=(2-cosx)²≤9
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]
解法2:
4cosx-cos²x+m-3=-cos²x+4cosx+m-3
令f(t)=-t²+4t+m-3 其中 t=cosx (-1≤t≤1)
∵4cosx-cos²x+m-3=0恒有实数解
∴f(t)=-t²+4t+m-3=0在区间t∈[-1,1]内成立,即f(t)的图像与t轴的一个交点在t∈[-1,1]内
从而
f(-1)*f(1)≤0
即 (-1-4+m-3)(-1+4+m-3)≤0
化简,得
(m-8)m≤0
解得0≤m≤8
所以m 的取值范围为[0,8]
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