高数大神进!快期末了!
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/28 06:51:01
高数大神进!快期末了!
设f(x) 在[0,1]上连续且单调减少,证明:对任意a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx>a∫(0到1)f(x) dx.
设f(x) 在[0,1]上连续且单调减少,证明:对任意a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx>a∫(0到1)f(x) dx.
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设F(t)=1/t×∫(0到t)f(x)dx,0<t≤1.
由积分中值定理,存在y∈(0,t),使得∫(0到t)f(x)dx=t*f(y).
F'(t)=[t*f(t)-∫(0到t)f(x)dx]/t^2=[t*f(t)-t*f(y)]/t^2=[f(t)-f(y)]/t<0
所以F(t)单调减少,所以F(t)>F(1)=∫(0到1)f(x)dx,即∫(0到t) f(x)dx > t∫(0到1) f(x)dx.
所以对于任意的a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx > a∫(0到1) f(x)dx.
再问: 太棒了!谢谢!问下你是怎么想到构造这样一个函数的?
再答: 证明积分不等式的思路就是积分的性质、中值定理、函数的单调性等等
由积分中值定理,存在y∈(0,t),使得∫(0到t)f(x)dx=t*f(y).
F'(t)=[t*f(t)-∫(0到t)f(x)dx]/t^2=[t*f(t)-t*f(y)]/t^2=[f(t)-f(y)]/t<0
所以F(t)单调减少,所以F(t)>F(1)=∫(0到1)f(x)dx,即∫(0到t) f(x)dx > t∫(0到1) f(x)dx.
所以对于任意的a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx > a∫(0到1) f(x)dx.
再问: 太棒了!谢谢!问下你是怎么想到构造这样一个函数的?
再答: 证明积分不等式的思路就是积分的性质、中值定理、函数的单调性等等