(2011•江苏二模)必做题
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/13 00:31:26
(2011•江苏二模)必做题
当n≥1,n∈N*时,
(1)求证:Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+(n-1)Cnn-1xn-2=n(1+x)n-1;
(2)求和:12Cn1+22Cn2+32Cn3+…+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn.
当n≥1,n∈N*时,
(1)求证:Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+(n-1)Cnn-1xn-2=n(1+x)n-1;
(2)求和:12Cn1+22Cn2+32Cn3+…+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn.
证明:(1)设f(x)=(1+x)n=Cn°+Cn1x+Cn2x2+Cn3x3+…+Cnnxn…①,
①式两边求导得:n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+(n-1)Cnn-1xn-2+nCnnxn-1,…②
(2)②的两边同乘x得:nx(1+x)n-1=Cn1+x2Cn2x2+3Cn3x3+…+(n-1)Cnn-1xn-1+nCnnxn,…③,
③式两边求导得:n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2=Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+(n-1)2Cnn-1xn-2+n2Cnnxn-1,…④,
④中令x=1得,Cn1+22Cn2+32Cn3+…+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn=n2n-1+n(n-1)2n-2=2n-2•n(n+1).
①式两边求导得:n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+(n-1)Cnn-1xn-2+nCnnxn-1,…②
(2)②的两边同乘x得:nx(1+x)n-1=Cn1+x2Cn2x2+3Cn3x3+…+(n-1)Cnn-1xn-1+nCnnxn,…③,
③式两边求导得:n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2=Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+(n-1)2Cnn-1xn-2+n2Cnnxn-1,…④,
④中令x=1得,Cn1+22Cn2+32Cn3+…+(n-1)2Cnn-1+n2Cnn=n2n-1+n(n-1)2n-2=2n-2•n(n+1).
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