圆锥曲线有哪些常用的公式(如椭圆,双曲线,抛物线的焦半径公式)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/15 22:01:40
圆锥曲线有哪些常用的公式(如椭圆,双曲线,抛物线的焦半径公式)
圆锥曲线的应用
圆锥曲线的应用
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解题思路: 对圆锥曲线中的一些常见的结论和公式进行总结,希望对你有所帮助。
解题过程:
圆锥曲线公式
椭圆
1.椭圆
的参数方程是
.
2.椭圆
焦半径公式
,
,![](http://img.wesiedu.com/upload/6/a4/6a41c9f2dae4b41d08e8af206b83ab64.png)
3.焦点三角形:P为椭圆
上一点,则三角形
的面积S=
特别地,若
此三角形面积为
;
4.在椭圆
上存在点P,使
的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是
;
5.椭圆的的内外部
(1)点
在椭圆
的内部
.
(2)点
在椭圆
的外部
.
6.椭圆的切线方程
(1)椭圆
上一点
处的切线方程是
.
(2)过椭圆
外一点
所引两条切线的切点弦方程是
.
(3)椭圆
与直线
相切的条件是
.
双曲线
7.双曲线
的焦半径公式
,
.
8.双曲线的内外部
(1)点
在双曲线
的内部
.
(2)点
在双曲线
的外部
.
9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为![](http://img.wesiedu.com/upload/9/6e/96e874b52b0af392b5656118fc948562.png)
渐近线方程:![](http://img.wesiedu.com/upload/b/89/b8976ffbac2530ebbb004a8d870f3944.png)
.
(2)若渐近线方程为![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b6/fb6598660ba7314780429b4784dbc1ee.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/84/5848e6897d7184e345009595a2727633.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/4c/94c1d736a0ebb9896ab86c227f1dbf94.png)
双曲线可设为
.
(3)若双曲线与
有公共渐近线,可设为
(
,焦点在x轴上,
,焦点在y轴上).
10.双曲线的切线方程
(1)双曲线
上一点
处的切线方程是
.
(2)过双曲线
外一点
所引两条切线的切点弦方程是
.
(3双曲线
与直线
相切的条件是
.
11.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)
抛物线
12.焦点与半径
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/14/514cb7aa4c933f3faaedc5ae5c056ac6.png)
13.焦半径公式
抛物线
,C
为抛物线上一点,焦半径
.
14.过焦点弦长
.
对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。
15.设点方法
抛物线
上的动点可设为P
或
P
,其中
.
圆锥曲线共性问题
16.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
,
的交点的曲线系方程是
(
为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
,其中
.当
时,表示椭圆; 当
时,表示双曲线.
17.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/67/e676eff4d93c490e8e805889f46a0844.png)
(弦端点A![](http://img.wesiedu.com/upload/a/5b/a5b5d8887a5cd8d9b15f6ce57ed97346.png)
由方程
消去y得到
,
,
为直线
的倾斜角,
为直线的斜率).
18.涉及到曲线上的点A,B及线段AB的中点M的关系时,可以利用“点差法:
比如在椭圆中:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/0f/e0f73965c5f33592afe8003315c1e29e.png)
19.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线
关于点
成中心对称的曲线是
.
(2)曲线
关于直线
成轴对称的曲线是
.
20.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
,用
代
,用
代
,用
代
,用
代
,用
代
,即得方程
,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到.
解题过程:
圆锥曲线公式
椭圆
1.椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/de/adec7a57943d56a1896e0e0c63a36fde.png)
2.椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/1b/b1b69bf3cb740d8124e7ead2584ff0d1.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/09/f0922ae268df67be146677f0e7fe98b7.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/a4/6a41c9f2dae4b41d08e8af206b83ab64.png)
3.焦点三角形:P为椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/9e/d9ecf2607e6d1f993e4a23d213ddde9e.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/96/8964eb1ba58435f8be184d0d64a7c2e4.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/2a/72aafbd296ee721f670992dd5d41b71f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/ad/cadd21287b617fc5e12c6108f0bffdeb.png)
4.在椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/80/c802ab88514334d5b7d20866cd9ca644.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/1b/e1bf3b95c2256801f0303c5baff1c0de.png)
5.椭圆的的内外部
(1)点
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/a4/8a469a3245f8d9902bb38aa3abec76b7.png)
(2)点
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/5c/e5cf44d58c3701bbef8986154e5d148a.png)
6.椭圆的切线方程
(1)椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3e/53e0083a523e985aaed95bf1d71a56e7.png)
(2)过椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/3e/53e0083a523e985aaed95bf1d71a56e7.png)
(3)椭圆
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/b7/0b7784f13f0b13c44bec88efa7bdcc12.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/b7/bb7fd08d1143b2b692a32407b1ba6411.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/fd/cfde42d72e7dab62f22af8ea25bf8170.png)
双曲线
7.双曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/f1/1f19d71fbc77be27e6152da5b2342559.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/71/271a607746d89c3833b3b5552b5b97d2.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/ea/5eaa8d00229cedbb4d868edf649c81c6.png)
8.双曲线的内外部
(1)点
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/f1/1f19d71fbc77be27e6152da5b2342559.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/15/d15f3e2dd132d1cb193c5bd324f33e09.png)
(2)点
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/f1/1f19d71fbc77be27e6152da5b2342559.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/01/c0157092363af7d60724cd32f593887c.png)
9.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/6e/96e874b52b0af392b5656118fc948562.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/5e/a5ebca2bf253a5242df052164c3efcc4.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/89/b8976ffbac2530ebbb004a8d870f3944.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b6/fb6598660ba7314780429b4784dbc1ee.png)
(2)若渐近线方程为
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/b6/fb6598660ba7314780429b4784dbc1ee.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/84/5848e6897d7184e345009595a2727633.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/4c/94c1d736a0ebb9896ab86c227f1dbf94.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/5e/a5ebca2bf253a5242df052164c3efcc4.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/9b/a9bd8005b506d1ce14c01cf3cc1fe5bc.png)
(3)若双曲线与
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/6e/96e874b52b0af392b5656118fc948562.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/9b/a9bd8005b506d1ce14c01cf3cc1fe5bc.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/8d/f8d5e7aed723b36300dda674a754f356.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/a9/2a9c960b70cd4e58111ac2a721aaa99a.png)
10.双曲线的切线方程
(1)双曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/38/f3881a1a8b519412ddd14bafaf2386a3.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/0d/60d2fd7ee1efee487c0578dacc15d5a5.png)
(2)过双曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/38/f3881a1a8b519412ddd14bafaf2386a3.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/0d/60d2fd7ee1efee487c0578dacc15d5a5.png)
(3双曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/38/f3881a1a8b519412ddd14bafaf2386a3.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/b7/bb7fd08d1143b2b692a32407b1ba6411.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/cb/ccbc6aa9b877bb18c1cd8eee63f83e51.png)
11.焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)
抛物线
12.焦点与半径
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/14/514cb7aa4c933f3faaedc5ae5c056ac6.png)
13.焦半径公式
抛物线
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/0d/f0d4aa863d4826c2b16e5a36b23e4818.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/22/0220f3efbe01c89fbe0a245e9195912f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/3f/f3f3739eff3eb4cfe9a3e4f18d2186e6.png)
14.过焦点弦长
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/b2/ab2e826485887e48f47c51c17ffecf6d.png)
对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。
15.设点方法
抛物线
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/ce/3ce4438a2e00cc20ddccb59cca0fc6f9.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/4b/f4b4ad26e11b29ba83957f499f83c6bf.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/bc/7bccbe2d49d10dc3c4f64ba7c0e4997a.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/b7/1b712bdc23dcb1923f66cbde38cc1f18.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/e4/9e4c807b392f5fa5f9d36d621838f883.png)
圆锥曲线共性问题
16.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/57/d57f6c55411b6bd6a3a2006145ade164.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/c1/1c106445d45f8510778d47a4971cefde.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/cd/2cd3784692dc23dbbc2cacff1d18a707.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/46/346d6132cb42644561f5faaf6ac99cfc.png)
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/e0/be071384432a5b2de183024e41defbdb.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/fd/7fd89d376b4e082dd1cc28579be9bafc.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/9c/29c0f3a49aa6fd71f5602b9359427a71.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/80/68045c03f526609da2c687b71ce352a3.png)
17.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/1e/a1ec37c7e1035ff894095d935bd72cad.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/67/e676eff4d93c490e8e805889f46a0844.png)
(弦端点A
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/5b/a5b5d8887a5cd8d9b15f6ce57ed97346.png)
由方程
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/1d/e1dd6c905dc258f1d6bfce95ae4b6ca3.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/2b/12bd9de461bb65c157ccdb5fc391633c.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/19/e1986447c72d16628506b856ae6f5079.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/37/8377a90b65aa1b9b36a58144aa3a960a.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/59/e59d8f65cbc908e565d6d09e98047307.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/1c/81c1148079c0ca881013bfe2f779ed38.png)
18.涉及到曲线上的点A,B及线段AB的中点M的关系时,可以利用“点差法:
比如在椭圆中:
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/0f/e0f73965c5f33592afe8003315c1e29e.png)
19.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/f4/bf4d10699fefdc037c2e9a772653f848.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/22/622e20e8471958b30508994edc2fc038.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/13/2137dbfa5b67330e49fb3574798e633e.png)
(2)曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/f4/bf4d10699fefdc037c2e9a772653f848.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/b7/bb7fd08d1143b2b692a32407b1ba6411.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/2e/92ebca61df78d23f1941d52354700707.png)
20.“四线”一方程
对于一般的二次曲线
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/cf/ecf4089fbac5b6076c38f73a80105e55.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/c8/dc86a4a3d72ab931228f558f7573c83b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/fb/bfb9739be483ccfe40b3caf82e42030b.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/0d/80d7d46e2fee6bad67661b7722e03a85.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/6e/56eb3faaec880915adbba140fe58a553.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/bf/4bff8fd4dd5d0dbe7655c4164c408c4d.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/62/96281b4bab635534222f2a07d806fd27.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/90/59048f49becaead5cbc0ac00e0d3d24a.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/77/677be7925746a3450250c2c659661c8f.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/7a/67a71f5a2b5d75334aa5aa9aeb94df97.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/1f/c1f37f07314f1676a73f08ca108f39ea.png)
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/fe/bfe2fa3773f6862963327d616ab98856.png)
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