百度作业网已知函数f(x)=(1+x)^2-aln(1+x)^2在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.(1)求f
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/15 01:03:50
已知函数f(x)=(1+x)^2-aln(1+x)^2在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2)上为减函数.(1)求f(x)的表达式；(2)若当x属于[1/e-1,e-1]时,不等式f(x)＜m恒成立,求实数m的值；(3)是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x^2+x+b在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根.若存在,求实数b的取值范围.
(1).对f(x)求导：,f'(x)=2（1+x）-2a/1+x,f（X）在(-2,-1)上是增函数,在(-∞,-2）上为减函数,则在x=-2处,f'(x)取得极值,所以f'(-2)=0,带入方程中可得,a=1
（2）.f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2,求导得f'(x)=2+2x-2/(1+x),求f'(x)的二阶导函数得f”（x）=2+1/(1+x)^2,因为 f“（x）在[1/e-1,e-1]上恒大于0,所以f'(x)在[1/e-1,e-1]上递增,
f'(x)min=f'(1/e-1)=2/e-1 + 2/e 显然大于0,所以f（X）在[1/e-1,e-1]上递增,f（x）max=e^2-2≤m,
即m≥e^2-2
（3）.由f(x)=x^2+x+b,带入得,(1+x)^2-ln(1+x)^2=x^2+x+b,化简得：x-2ln（1+x）+1-b=0,该方程在[0,2]区间上恰好有两个异根,则f（x）=x-2ln（1+x）+1-b在[0,2]上有单调性,求导f'(x)=1 - 2/1+x≠0,x≠1,所以x分区间 [0,1）和（1,2],在[0,1）递增,（1,2]上递减,要有两个异根,则f（1）＜0,f（0）>0,f（2）>0,将这三个条件带入得：1-2ln2+1-b＜0,1-b>0,2-2ln3+1-b>0,解得：b>2-2ln2,b＜1,b＜3-2ln3,
所以b的取值范围为 ：（2-2ln2,3-2ln3）
（2）.f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2,求导得f'(x)=2+2x-2/(1+x),求f'(x)的二阶导函数得f”（x）=2+1/(1+x)^2,因为 f“（x）在[1/e-1,e-1]上恒大于0,所以f'(x)在[1/e-1,e-1]上递增,
f'(x)min=f'(1/e-1)=2/e-1 + 2/e 显然大于0,所以f（X）在[1/e-1,e-1]上递增,f（x）max=e^2-2≤m,
即m≥e^2-2
（3）.由f(x)=x^2+x+b,带入得,(1+x)^2-ln(1+x)^2=x^2+x+b,化简得：x-2ln（1+x）+1-b=0,该方程在[0,2]区间上恰好有两个异根,则f（x）=x-2ln（1+x）+1-b在[0,2]上有单调性,求导f'(x)=1 - 2/1+x≠0,x≠1,所以x分区间 [0,1）和（1,2],在[0,1）递增,（1,2]上递减,要有两个异根,则f（1）＜0,f（0）>0,f（2）>0,将这三个条件带入得：1-2ln2+1-b＜0,1-b>0,2-2ln3+1-b>0,解得：b>2-2ln2,b＜1,b＜3-2ln3,
所以b的取值范围为 ：（2-2ln2,3-2ln3）
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