函数f(x)=x|x|+x3+2在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为______.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 06:38:30
函数f(x)=x|x|+x3+2在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为______.
![函数f(x)=x|x|+x3+2在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为______.](/uploads/image/z/8877177-9-7.jpg?t=%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx%7Cx%7C%2Bx3%2B2%E5%9C%A8%5B-2013%EF%BC%8C2013%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%8E%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B9%8B%E5%92%8C%E4%B8%BA______%EF%BC%8E)
函数f(x)=x|x|+x3+2=
x3+x2+2 (x≥0)
x3−x2+2 (x<0),
∴当x≥0时,f(x)=x3+x2+2,f′(x)=3x2+2x;
令f′(x)=0,即3x2+2x=0,解得x=0或x=-
2
3;
∴当x≥0时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在[0,2013]上的最大值是f(2013)=20133+20132+2,最小值是f(0)=2;
当x<0时,f(x)=x3-x2+2,f′(x)=3x2-2x;
令f′(x)=0,即3x2-2x=0,解得x=0或x=
2
3;
∴当x<0时,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)[-2013,0)上的最小值是f(-2013)=(-2013)3-(-2013)2+2=-20133-20132+2,且f(x)<f(0)=2;
∴f(x)在[-2013,2013]上的最大值是f(2013),最小值是f(-2013),
∴最大值与最小值之和为f(2013)+f(-2013)=(20133+20132+2)+(-20133-20132+2)=4;
故答案为:4.
x3+x2+2 (x≥0)
x3−x2+2 (x<0),
∴当x≥0时,f(x)=x3+x2+2,f′(x)=3x2+2x;
令f′(x)=0,即3x2+2x=0,解得x=0或x=-
2
3;
∴当x≥0时,f′(x)≥0恒成立,
∴f(x)在[0,2013]上的最大值是f(2013)=20133+20132+2,最小值是f(0)=2;
当x<0时,f(x)=x3-x2+2,f′(x)=3x2-2x;
令f′(x)=0,即3x2-2x=0,解得x=0或x=
2
3;
∴当x<0时,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)[-2013,0)上的最小值是f(-2013)=(-2013)3-(-2013)2+2=-20133-20132+2,且f(x)<f(0)=2;
∴f(x)在[-2013,2013]上的最大值是f(2013),最小值是f(-2013),
∴最大值与最小值之和为f(2013)+f(-2013)=(20133+20132+2)+(-20133-20132+2)=4;
故答案为:4.
函数f(x)=x|x|+x3+2在[-2013,2013]上的最大值与最小值之和为______.
函数f(x)=x|x|+x3+2在[-2012,2012]上的最大值与最小值之和为 ___ .
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