已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/12 17:01:34
已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值为( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
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根据奇函数性质,f(0)=0
∵f(x)关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0
再由奇函数性质,f(-2)=-f(2)=0
再由关于直线x=1对称性质,f(4)=f(-2)=0
∴f(-4)=-f(4)=0
∴f(6)=f(-4)=0
…
∴当x为偶数时,f(x)=0
由题意,f(-1)=1
根据奇函数性质,f(1)=-f(-1)=-1
根据关于直线x=1对称性质,f(3)=f(-1)=1
不难得出,当x为奇数时,f(x)=1或者-1,交替出现
最后出现的一个是f(2009),很明显f(2009)=-1,前面的2008个全部抵消掉了
故而最终结果就是-1
故选A.
∵f(x)关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0
再由奇函数性质,f(-2)=-f(2)=0
再由关于直线x=1对称性质,f(4)=f(-2)=0
∴f(-4)=-f(4)=0
∴f(6)=f(-4)=0
…
∴当x为偶数时,f(x)=0
由题意,f(-1)=1
根据奇函数性质,f(1)=-f(-1)=-1
根据关于直线x=1对称性质,f(3)=f(-1)=1
不难得出,当x为奇数时,f(x)=1或者-1,交替出现
最后出现的一个是f(2009),很明显f(2009)=-1,前面的2008个全部抵消掉了
故而最终结果就是-1
故选A.
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