设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 16:12:53
设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.
设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。
设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根。
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充分性:
由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A| ≠ 0,从而|A+iE| ≠ 0,即有A+iE可逆.
必要性:
A+iE可逆故|A+iE| ≠ 0,从而|-iE-A| ≠ 0,即-i不是特征多项式|λE-A|的根.
而|λE-A|是实系数多项式,因此虚根成对.可知i也不是特征根,否则-i也为特征根,矛盾.
因此±i都不是A的特征根.
由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A| ≠ 0,从而|A+iE| ≠ 0,即有A+iE可逆.
必要性:
A+iE可逆故|A+iE| ≠ 0,从而|-iE-A| ≠ 0,即-i不是特征多项式|λE-A|的根.
而|λE-A|是实系数多项式,因此虚根成对.可知i也不是特征根,否则-i也为特征根,矛盾.
因此±i都不是A的特征根.
设A是n阶实矩阵,i²=1.证明:A+iI为可逆矩阵的充分必要条件是±i都不是A的特征根.
设a,b,c都是n阶矩阵,证明abc可逆的充分必要条件是a,b,c都可逆
设A是m*n矩阵,证明:r(A)=r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
证明:n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个ni重特征根λi,矩阵λiI-A的秩是n-ni
n阶矩阵A可逆的充分必要条件是( )
设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆
设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA
设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定
A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA
设A是n阶实对称矩阵,证明A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0