百度作业网一道关于定积分求面积的题目!
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/28 14:47:27
一道关于定积分求面积的题目!
求由x轴,y=e的x次方,以及y=e的x次方在（1,e）处切线所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积?请写出过程和式子!
求由x轴,y=e的x次方,以及y=e的x次方在（1,e）处切线所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积?请写出过程和式子!
y = e^x
y' = e^x
y'(1) = e
y - e = e(x - 1)
y = ex
原题变为由x轴、y = e^x以及y = ex围成的图形绕x轴旋转一周的体积.
体积 = π∫(a→b) y² dx
= π∫(-∞→1) (e^x)² dx - π∫(0→1) (ex)² dx
= (π/2)∫(-∞→1) e^(2x) d(2x) - πe²∫(0→1) x² dx
= (π/2)e^(2x) |(-∞→1) - πe²·x³/3 |(0→1)
= (π/2)e² - 0 - (πe²/3)(1 - 0)
= πe²/6
≈ 3.8689
总之就如这个图形.
π∫(-∞→1) (e^x)² dx就是(红色+蓝色)的部分
π∫(0→1) (ex)² dx就是(蓝色)的部分
(红色+蓝色) - (蓝色) = 红色,所以红色就是所求图形的面积、绕x轴旋转就得所求体积.
y' = e^x
y'(1) = e
y - e = e(x - 1)
y = ex
原题变为由x轴、y = e^x以及y = ex围成的图形绕x轴旋转一周的体积.
体积 = π∫(a→b) y² dx
= π∫(-∞→1) (e^x)² dx - π∫(0→1) (ex)² dx
= (π/2)∫(-∞→1) e^(2x) d(2x) - πe²∫(0→1) x² dx
= (π/2)e^(2x) |(-∞→1) - πe²·x³/3 |(0→1)
= (π/2)e² - 0 - (πe²/3)(1 - 0)
= πe²/6
≈ 3.8689
总之就如这个图形.
π∫(-∞→1) (e^x)² dx就是(红色+蓝色)的部分
π∫(0→1) (ex)² dx就是(蓝色)的部分
(红色+蓝色) - (蓝色) = 红色,所以红色就是所求图形的面积、绕x轴旋转就得所求体积.