线性代数证明题设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.证明:β,Aβ
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 13:13:23
线性代数证明题
设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.
证明:β,Aβ,(A^2)β线性无关.
设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.
证明:β,Aβ,(A^2)β线性无关.
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设a1,a2,a3对应的特征值分别是x1,x2,x3
β=a1+a2+a3.
Aβ=A(a1+a2+a3)=x1a1+x2a2+x3a3
(A^2)β=(A^2)(a1+a2+a3)=(x1^2)a1+(x2^2)a2+(x3^2)a3
把这3个向量放在一起组成矩阵
[β,Aβ,(A^2)β]
=M*N
=
[a1,a2,a3]*
1 x1 x1^2
1 x2 x2^2
1 x3 x3^2
我们只要证明行列式|β,Aβ,(A^2)β|不为0就行了.
|β,Aβ,(A^2)β|=|M|*|N|
|M|自然不为0,因为a1,a2,a3是不同特征值的特征向量,是线性无关的,所以|M|不为0
|N|也不为0,因为|N|是一个范德蒙行列式,它的值是连乘积的形式,又由于x1,x2,x3各不相同,所以(x1-x2),(x2-x3),(x1-x3)都不是0,那么连乘积也不为0.
综上,|β,Aβ,(A^2)β|不为0,所以β,Aβ,(A^2)β线性无关
β=a1+a2+a3.
Aβ=A(a1+a2+a3)=x1a1+x2a2+x3a3
(A^2)β=(A^2)(a1+a2+a3)=(x1^2)a1+(x2^2)a2+(x3^2)a3
把这3个向量放在一起组成矩阵
[β,Aβ,(A^2)β]
=M*N
=
[a1,a2,a3]*
1 x1 x1^2
1 x2 x2^2
1 x3 x3^2
我们只要证明行列式|β,Aβ,(A^2)β|不为0就行了.
|β,Aβ,(A^2)β|=|M|*|N|
|M|自然不为0,因为a1,a2,a3是不同特征值的特征向量,是线性无关的,所以|M|不为0
|N|也不为0,因为|N|是一个范德蒙行列式,它的值是连乘积的形式,又由于x1,x2,x3各不相同,所以(x1-x2),(x2-x3),(x1-x3)都不是0,那么连乘积也不为0.
综上,|β,Aβ,(A^2)β|不为0,所以β,Aβ,(A^2)β线性无关
线性代数证明题设a1,a2,a3为n阶方阵的3个特征向量,且对应的特征值互不相同,记β=a1+a2+a3.证明:β,Aβ
设3阶方阵A有3个互不相同的特征值n1 n2 n3 ,对应的特征向量依次为a1 a2 a3 .令B=a1+a2+a3,
设3阶方阵A属于特征值-1和1的特征向量是a1 a2 向量a3满足Aa1=a2+a3 证明a1 a2 a3
线性代数问题设对称阵A 其特征值互不相等 特征值对应的特征向量分别为a1,a2,a3.an则P=(a1,a2,a3.an
设A为3阶方阵,x1,x2,x3是A的三个不同特征值,对应特征向量分别为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3.
设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明
设A为你阶方阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明:a1,a2,a3
线性代数证明题设A为3阶矩阵,a1,a2为矩阵A的分别属于特征值-1和1的特征向量,a3满足Aa3=a2+a3,证明a1
线性代数题目(2)证明题:设A是3阶矩阵,且有3个互异的特征值U1,U2,U3对应的特征向量依次为a1,a2,a3.令B
设A为3阶矩阵,a1,a2分别为A的属于特征值-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明a1,a2,a3线
设A为3阶矩阵,a1,a2为A的分别属于特征值-1和1的特征向量,a3满足Aa3=a2+a3.证明a1,a2,a3线性无
线性代数问题设A为三阶矩阵,a1,a2,为A的分别属于-1,1的特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3,证明a1,a2