如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/03 07:04:15

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是2．O为坐标原点，点A在x的正半轴上，点C在y的正半轴上．一条抛物线经过A点，顶点D是OC的中点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形OABC的对角线OB与抛物线交于E点，线段FG过点E与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于F，G点，试比较线段OE与EG的长度；
（3）点H是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ过点H与x轴垂直，分别交x轴和线段BC于I、J点，点K在y轴的正半轴上，且OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．

（1）由题意，设抛物线的解析式为：y=ax²+b．
将点D的坐标（0，1），点A的坐标（2，0）代入，
得：a=-
1
4，b=1．
所求抛物线的解析式为y=-
1
4x²+1．
（2）由于点E在正方形的对角线OB上，又在抛物线上，
设点E的坐标为（m，m）（0＜m＜2），
则m=-
1
4m²+1．
解得m₁=2
2-2，m₂=-2
2-2（舍去）．
所以OE=
2m=4-2
2．
所以EG=GF-EF=2-m=2-（2
2-2）=4-2
2．
所以OE=EG．
（3）证明：设点H的坐标为（p，q）（0＜p＜2，0＜q＜1），
由于点H在抛物线y=-
1
4x²+1上，
所以q=-
1
4p²+1，
即p²=4-4q．
因为OH²=OI²+HI²=p²+q²=4-4q+q²=（2-q）²，
所以OH=2-q．
所以OK=OH=2-q．
所以CK=2-（2-q）=q=IH．
因为CJ=OI，∠OIH=∠JCK=90°，
所以△OHI≌△JKC．