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关于x的不等式|x-2|<|ax|(a>0)恰有三个正整数解,则a的取值范围为______.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 10:44:28
关于x的不等式|x-2|<|ax|(a>0)恰有三个正整数解,则a的取值范围为______.
关于x的不等式|x-2|<|ax|(a>0)恰有三个正整数解,则a的取值范围为______.
由|x-2|<|ax|(a>0),
可得
|x−2|
|x|<a,
整理,可得1-a<
2
x<1+a;
①当1-a=0,即a=1时,
可得x>
2
3,有无数个正整数解,
所以a=1时,不符合题意;
②当1-a<0时,即a>1时,
x>
2
1+a,有无数个正整数解,
所以a>1时,不符合题意;
③当1-a>0时,即0<a<1时,

2
1+a<x<
2
1−a,
因为1<
2
1+a<2,不等式恰有三个正整数解,
可得不等式的正整数解是从2开始的3个连续正整数,
即不等式的三个正整数解是2、3、4,
所以4<
2
1−a≤5,
解得
1
2<a≤
3
5,
则a的取值范围为(
1
2,
3
5].
故答案为:(
1
2,
3
5].