已知函数f(x)=x^2+a/x(x不等于0,a∈R)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 00:57:38
已知函数f(x)=x^2+a/x(x不等于0,a∈R)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
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设X1大于X2大于等于2 f(x1)=x1^2+a/x1 f(x2)=x2^2+a/x2
因为在x区间[2,正无穷)上为增函数所以f(x1)-f(x2)大于0
x1^2+a/x1 -(x2^2+a/x2)大于0
(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2大于0
(x1-x2)((x1+x2)x1x2-a/x1x2)大于0
因为x1-x2大于0 x1x2大于0所以(x1+x2)x1x2-a大于0
(x1+x2)x1x2最小等于(2+2)*2*2=16但x1大于x2所以这大于16
所以a的取值范围为小于16
求导方法:
f(x)=x^2+a/x
f'(x)=2x-a/x^2
若f(x)在[2,+∞)上为增函数,则:
f'(x)=2x-a/x^2≥0
a≤2x^3≤16
a∈(-∞,16]
因为在x区间[2,正无穷)上为增函数所以f(x1)-f(x2)大于0
x1^2+a/x1 -(x2^2+a/x2)大于0
(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/x1x2大于0
(x1-x2)((x1+x2)x1x2-a/x1x2)大于0
因为x1-x2大于0 x1x2大于0所以(x1+x2)x1x2-a大于0
(x1+x2)x1x2最小等于(2+2)*2*2=16但x1大于x2所以这大于16
所以a的取值范围为小于16
求导方法:
f(x)=x^2+a/x
f'(x)=2x-a/x^2
若f(x)在[2,+∞)上为增函数,则:
f'(x)=2x-a/x^2≥0
a≤2x^3≤16
a∈(-∞,16]
已知函数f(x)=x^2+a/x(x不等于0,a∈R)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(- ∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围.