在某高中数学竞赛附加试卷中只有三道题,已知:该校25个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;在所有没有解出第一题的学生中
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 18:51:24
在某高中数学竞赛附加试卷中只有三道题,已知:该校25个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍;只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,则共有多少学生只解出第二题?
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设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C,并用三个圆表示之,则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合,其人数分别以a,b,c,d,e,f,g表示.
由于每个学生至少解出一题,故a+b+c+d+e+f+g=25①![](http://img.wesiedu.com/upload/7/7b/77b32860a518566b84ebff44d78c77ac.jpg)
由于没有解出甲题的学生中,解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍,
故b+f=2(c+f)②
由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1,故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中,有一半没有解出甲题,故a=b+c④
由②得:b=2c+f,f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得:2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得:4b+c=26⑨
∵c≥0,∴4b≤26,b≤6
1
2.
利用⑤⑨消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52
∵f≥0,∴9b≥52,b≥
52
9.
∵b∈Z,
∴b=6.即只解出乙题的学生有6人.
由于每个学生至少解出一题,故a+b+c+d+e+f+g=25①
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/7b/77b32860a518566b84ebff44d78c77ac.jpg)
由于没有解出甲题的学生中,解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍,
故b+f=2(c+f)②
由于只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1,故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中,有一半没有解出甲题,故a=b+c④
由②得:b=2c+f,f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得:2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得:4b+c=26⑨
∵c≥0,∴4b≤26,b≤6
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利用⑤⑨消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52
∵f≥0,∴9b≥52,b≥
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∵b∈Z,
∴b=6.即只解出乙题的学生有6人.
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