如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 11:55:43
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2)设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n恒=6.
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/68/36876083b0951c570d87cd44313042dd.jpg)
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|:|AF2|=3:1.
1)求离心率
2)设向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C,证明m+n恒=6.
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/68/36876083b0951c570d87cd44313042dd.jpg)
![如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,](/uploads/image/z/6256524-12-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5A%E4%B8%BA%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2Fa%5E2%2By%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%BC%A6AB%E3%80%81AC%E5%88%86%E5%88%AB%E8%BF%87%E7%84%A6%E7%82%B9F1%E3%80%81F2%2C)
(1)A为椭圆上的点,AC过其焦点F2,
则当AC⊥x轴时,A的坐标为A(c,b²/a) (c²=a²-b²,c>0)
则RT△F1F2A中|AF1|:|AF2|=3:1;故sin∠AF1F2=1/3,
则tan∠AF1F2=√2/4=|AF2|/|F1F2|=b²/a/(2c),且c²=a²-b²,c>0
故a/c-c/a=√2/2 ,解之:e=c/a=√2/2
(2)证明:由e=c/a=√2/2,知b²=a²/2 ;又F1(-√2a/2,0) ;F2(√2a/2,0) ;
则椭圆为x²/a²+2y²/a²=1 ;令A(acosk,√2asink/2) ;
则向量AF1=(-√2a/2-acosk,-√2asink/2);向量AF2=(√2a/2-acosk,-√2asink/2);
由向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C ;知:
B((-√2a/2-acosk)/m-√2a/2,-√2asink/(2m));
C((√2a/2-acosk)/n+√2a/2,-√2asink/(2n)) ;
又B、C在椭圆 x²/a²+2y²/a²=1上,则:
[(-√2a/2-acosk)/m-√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2m)]²/a²=1 ;
[(√2a/2-acosk)/n+√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2n)]²/a²=1 ;
化简得:(√2+2cosk+√2m)²+4sin²k=4m²;(√2-2cosk+√2n)²+4sin²k=4n²;
有3+2√2cosk+2m+2√2mcosk=m²;3-2√2cosk+2n-2√2ncosk=n²;
则:cosk=(m²-2m-3)/[2√2(1+m)]=(n²-2n-3)/[-2√2(1+n)] (m>0;n>0)
整理有:m-3=-(n-2),则:m+n=6 ;证毕.
终于弄完了,希望对你有所帮助!
则当AC⊥x轴时,A的坐标为A(c,b²/a) (c²=a²-b²,c>0)
则RT△F1F2A中|AF1|:|AF2|=3:1;故sin∠AF1F2=1/3,
则tan∠AF1F2=√2/4=|AF2|/|F1F2|=b²/a/(2c),且c²=a²-b²,c>0
故a/c-c/a=√2/2 ,解之:e=c/a=√2/2
(2)证明:由e=c/a=√2/2,知b²=a²/2 ;又F1(-√2a/2,0) ;F2(√2a/2,0) ;
则椭圆为x²/a²+2y²/a²=1 ;令A(acosk,√2asink/2) ;
则向量AF1=(-√2a/2-acosk,-√2asink/2);向量AF2=(√2a/2-acosk,-√2asink/2);
由向量AF1=m向量F1B,向量AF2=n向量F2C ;知:
B((-√2a/2-acosk)/m-√2a/2,-√2asink/(2m));
C((√2a/2-acosk)/n+√2a/2,-√2asink/(2n)) ;
又B、C在椭圆 x²/a²+2y²/a²=1上,则:
[(-√2a/2-acosk)/m-√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2m)]²/a²=1 ;
[(√2a/2-acosk)/n+√2a/2]²/a²+2[-√2asink/(2n)]²/a²=1 ;
化简得:(√2+2cosk+√2m)²+4sin²k=4m²;(√2-2cosk+√2n)²+4sin²k=4n²;
有3+2√2cosk+2m+2√2mcosk=m²;3-2√2cosk+2n-2√2ncosk=n²;
则:cosk=(m²-2m-3)/[2√2(1+m)]=(n²-2n-3)/[-2√2(1+n)] (m>0;n>0)
整理有:m-3=-(n-2),则:m+n=6 ;证毕.
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如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC
如图,已知A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,
设A为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的一动点弦AB,AC分别过焦点F1,F2当AC垂直于x轴时,恰好有
已知A B C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>0)上 直线AB AC分别过椭圆的左右焦点F1 F2 当向量A
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线
如图,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点,
已知A,B,C均在椭圆M:x^2/a^2+y^2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2当,
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c>0)的左右焦点分别为F1.F2,过椭圆上一点P作圆F2:(x-c
已知椭圆求x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为f1,f2,若以f2为圆心,b-c为半径作园f2,过椭圆上一
已知点p(x,y)在椭圆x2|2+y2|1=1的左右焦点分别为f1 f2 若过点p(0,-2)及f1的直线交椭圆与A B
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1焦点分别为F1,F2,椭圆上存在点p,使得csin
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆C上,且向量AF1×