(2014•淮安模拟)已知函数f(x)=(x-a)2ex在x=2时取得极小值.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/15 15:49:01
(2014•淮安模拟)已知函数f(x)=(x-a)2ex在x=2时取得极小值.
(1)求实数a的值;
(2)是否存在区间[m,n],使得f(x)在该区间上的值域为[e4m,e4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
(1)求实数a的值;
(2)是否存在区间[m,n],使得f(x)在该区间上的值域为[e4m,e4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.
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(1)f'(x)=ex(x-a)(x-a+2),
由题意知f'(2)=0,解得a=2或a=4.
当a=2时,f'(x)=exx(x-2),
易知f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,符合题意;
当a=4时,f'(x)=ex(x-2)(x-4),
易知f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,4),(4,+∞)上为减函数,不符合题意.
所以,满足条件的a=2.
(2)因为f(x)≥0,所以m≥0.
①若m=0,则n≥2,因为f(0)=4<e4n,所以(n-2)2en=e4n.
设g(x)=
(x−2)2
xex(x≥2),则g′(x)=[
x2−4
x2+
(x−2)2
x]ex≥0,
所以g(x)在[2,+∞)上为增函数.
由于g(4)=e4,即方程(n-2)2en=e4n有唯一解为n=4.
②若m>0,则2∉[m,n],即n>m>2或0<m<n<2.
(Ⅰ)n>m>2时,
f(m)=(m−2)2em=e4m
f(n)=(n−2)2en=e4n,
由①可知不存在满足条件的m,n.
(Ⅱ)0<m<n<2时,
(m−2)2em=e4n
(n−2)2en=e4m,
两式相除得m(m-2)2em=n(n-2)2en.
设h(x)=x(x-2)2ex(0<x<2),
则h'(x)=(x3-x2-4x+4)ex
=(x+2)(x-1)(x-2)ex,
h(x)在(0,1)递增,在(1,2)递减,
由h(m)=h(n)得0<m<
由题意知f'(2)=0,解得a=2或a=4.
当a=2时,f'(x)=exx(x-2),
易知f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,符合题意;
当a=4时,f'(x)=ex(x-2)(x-4),
易知f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,4),(4,+∞)上为减函数,不符合题意.
所以,满足条件的a=2.
(2)因为f(x)≥0,所以m≥0.
①若m=0,则n≥2,因为f(0)=4<e4n,所以(n-2)2en=e4n.
设g(x)=
(x−2)2
xex(x≥2),则g′(x)=[
x2−4
x2+
(x−2)2
x]ex≥0,
所以g(x)在[2,+∞)上为增函数.
由于g(4)=e4,即方程(n-2)2en=e4n有唯一解为n=4.
②若m>0,则2∉[m,n],即n>m>2或0<m<n<2.
(Ⅰ)n>m>2时,
f(m)=(m−2)2em=e4m
f(n)=(n−2)2en=e4n,
由①可知不存在满足条件的m,n.
(Ⅱ)0<m<n<2时,
(m−2)2em=e4n
(n−2)2en=e4m,
两式相除得m(m-2)2em=n(n-2)2en.
设h(x)=x(x-2)2ex(0<x<2),
则h'(x)=(x3-x2-4x+4)ex
=(x+2)(x-1)(x-2)ex,
h(x)在(0,1)递增,在(1,2)递减,
由h(m)=h(n)得0<m<
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