设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/15 10:34:35
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
解法一:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
解法二:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1].
解法二:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立.
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
设函数F(X)=(X+1)Ln(X+1)若对所有的X大于等于零都有F(X)大于等于aX成立,求实数a的取值范围?
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设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x大于等于0,都有f(x)大于等于ax成立,求实数a的取值范围.
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