在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/07 18:47:44

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A、B两点．

法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0，-p），
可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立得

x2＝2py
y＝kx+p，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是S△ABN＝S△BCN+S△ACN＝
1
2•2p|x1−x2|
=p|x1−x2|＝p
(x1+x2)2−4x1x2
=p
4p2k2+8p2＝2p2
k2+2，
∴当k=0时，(S△ABN)min＝2
2p2．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

AC的中点为O'，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，
则O'H⊥PQ，Q'点的坐标为（x1，
y1+p
2）．
∵|O′P|＝
1
2|AC|＝
1
2

x21+(y1−p)2＝
1
2

y21+p2，|O′H|＝|a−
y1+p
2|＝
1
2|2a−y1−p|，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²=
1
4(
y21+p2)−
1
4(2a−y1−p)2=(a−
p
2)y1+a(p−a)，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=4[(a−
p
2)y1+a(p−a)]．
令a−
p
2＝0，得a＝
p
2，此时|PQ|=p为定值，
故满足条件的直线l存在，其方程为y＝
p
2，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得|AB|＝
1+k2|x1−x2|＝
1+k2•
(x1+x2)2−4x1x2＝
1+k2•
4p2k2+8p2=2p
1+k2•
k2+2，
又由点到直线的距离公式得d＝
2p

1+k2．
从而S△ABN＝
1
2⋅d•|AB|＝
1
2•2p
1+k2•
k2+2•
2p

1+k2＝2p2
k2+2，∴当k=0时，(S△ABN)min＝2
2p2．
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
将直线方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
则|x₁-x₂|²=
x21−4(a−p)(a−y1)＝4[(a−
p
2)y1+a(p−a)]．
设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则有|PQ|＝|x3−x4|＝
4[(a−
p
2)y1+a(p−a)]＝2
(a−
p
2)y1+a(p−a)．
令a−
p
2＝0，得a＝
p
2，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝
p
2，
即抛物线的通径所在的直线．